Gli strumenti Accumulo distanza e Allocazione distanza sostituiscono gli strumenti di distanza di costo legacy. Questi nuovi strumenti misurano la distanza dei costi in tutte le direzioni ricostruendo una superficie accumulativa continua invece di trovare percorsi attraverso una rete di centri cellulari È possibile creare superfici di costo cumulativo di output dalle superfici di attrito dei costi di input e altri parametri. Come con altre superfici, è possibile ottenere una comprensione più precisa dei risultati aggiungendo linee di contorno (linee di uguale costo cumulativo), visualizzandole in 3D e visualizzandole in combinazione con i bacini idrografici di allocazione. In genere, l'obiettivo della costruzione di questa superficie è quello di tracciare i percorsi meno costosi, che sono percorsi di discesa più ripida.
Superficie di costo cumulativo
L'algoritmo utilizzato da questi strumenti ricostruisce una superficie dalla sua pendenza.
Approccio ricostruzione superficie
Con gli strumenti Accumulo distanza e Allocazione distanza, trovare il costo cumulativo minimo non è più un problema di rete. Il raster di costo cumulativo di output è una superficie con una forma sconosciuta. Vuoi scoprire la forma data solo la sua pendenza in ogni cella nell'area di studio. Questo approccio utilizza i concetti della geometria differenziale per calcolare la distanza reale e i costi in tutte le direzioni.
La superficie dei costi cumulativi risponde a tre domande importanti:
- Dove il costo aumenta rapidamente in funzione della distanza?
- Quali celle di origine sono più vicine a una data cella non di origine?
- Quale percorso deve essere seguito da una cella non di origine alla cella di origine più vicina?
È possibile utilizzare viste 3D e linee di contorno con la superficie di output per trovare le risposte a queste domande. Puoi usare gli strumenti Allocazione distanza e Percorso ottimale come linea per risposte più precise.
Le sottosezioni seguenti descrivono la relazione tra una semplice superficie di attrito del costo di input e la superficie di costo cumulativo di output.
Superficie di attrito a costo di input semplice
Considera un semplice raster di attrito dei costi che ha una sezione centrale con costo = 3, una sezione centrale con costo = 2 e una sezione esterna con costo = 1.
L'interpretazione 3D può essere utilizzata per comprendere la relazione tra il raster di attrito dei costi e la superficie dei costi cumulativi di output. L'altezza h della superficie nella cella c è la somma delle pendenze dal raster di costo di input moltiplicata per le distanze su cui tali pendenze sono attive (h = 3 * d1 + 2 * d2 + 1 * d3).
Una vista in pianta della stessa superficie di output mostra come le linee di contorno descrivono la variazione dei costi cumulativi. Vengono mostrati anche i valori di pendenza e aspetto nella posizione della cella c. L'aspetto (la direzione della discesa più ripida) è sempre perpendicolare alla linea di livello.
Incorpora il minimo costo cumulativo
Di seguito è mostrato un caso leggermente più complicato. Il costo cumulativo (elevazione) in una cella non sorgente proverrà dalla sorgente che arriva a quella cella con il minor costo.
Il raster di costo ha due valori: 1 come grigio chiaro e 3 come grigio scuro. I punti sorgente sono S1 e S2. La cella non di origine D è più vicina a S1 in termini di costo cumulativo.
L'aggiunta di curve di livello alla superficie dei costi cumulativi può aiutarti a visualizzare la rapidità con cui i costi cambiano man mano che ti allontani dalle fonti. Partendo dalla posizione non di origine e spostandosi ad angolo retto rispetto alle linee di contorno, si ritorna alla cella di origine più vicina. Il percorso non va alla sorgente geometricamente più vicina a causa dell'elevato costo attorno a tale origine.
Di seguito è riportata una vista 3D che mostra la stessa superficie di costo cumulativo minimo. La superficie è molto più ripida attorno alla fonte costosa (il costo si accumula più rapidamente). Quella fonte possiede la superficie di costo minimo solo molto vicino ad essa. In tutte le altre celle dell'area di studio, la superficie è di proprietà della sorgente a sinistra.
Regioni di allocazione come bacini idrografici
Man mano che la superficie di attrito dei costi di input e la superficie di costi cumulativi di output diventano più complicate, è ancora possibile utilizzare le linee di contorno, la pendenza e l'aspetto per comprendere il comportamento delle superfici dei costi cumulativi. Inoltre, le regioni di allocazione attorno alle fonti fungono da spartiacque sulla superficie dell'output dei costi cumulativi. Tutti i percorsi a costo minimo all'interno di una regione di allocazione confluiscono nella stessa origine. I bacini idrografici di allocazione sono combinati con linee di contorno e una vista 3D negli esempi seguenti.
Superfici dei costi cumulativi più complicate, come questa superficie del tempo di viaggio, possono essere visualizzate con precisione in 2D e 3D utilizzando linee di contorno (isocrone in questo caso).
Una vista 3D della stessa superficie è mostrata nell'immagine seguente. Le scogliere sullo sfondo sono barriere causate dalla presenza di un fiume.
I percorsi di costo minimo scorrono lungo la superficie del costo cumulativo verso la fonte che definisce la zona di allocazione (spartiacque), come mostrato nell'immagine seguente:
L'algoritmo di ricostruzione della superficie è un'estensione dell'algoritmo di rete
Per trovare una superficie di costo cumulativo utilizzando solo la conoscenza del valore della pendenza più ripida in ogni cella, puoi anche utilizzare l'algoritmo di ricostruzione della superficie. Questo algoritmo è simile all'algoritmo del percorso più breve utilizzato dagli strumenti della distanza di costo legacy, ma con un passaggio aggiuntivo per fornire un'approssimazione del costo cumulativo che non segue una delle otto direzioni di rete. Questo è chiamato il passo Eikonal. Segue una breve descrizione e maggiori dettagli possono essere trovati in Sethian, 1999.
Per comprendere questo passaggio nel contesto, troverai di seguito il costo cumulativo z5 per la cella centrale. Supponiamo di conoscere tutti i costi cumulativi dell'adiacente zi. Inoltre, dal raster di costo di input, conosci il valore della pendenza S nella cella centrale.
Ad esempio, un'approssimazione per z5 può essere lungo la diagonale tra z3 e z5, dove z5 = z3 + 1,4 * dimensioni cella * S, come mostrato nella figura seguente. In questo caso, S, il valore del raster di costo di input, viene interpretato come la pendenza del triangolo abc. Per tutte queste approssimazioni dello stile di rete, solo la pendenza in z5 viene utilizzata per approssimare il costo cumulativo in z5. Questo è diverso dall'algoritmo di rete legacy, che utilizza una media dei costi da coppie di celle.
È possibile effettuare otto approssimazioni di rete, di cui quattro che utilizzano coppie di altezze esistenti, come mostrato nella sequenza di tre figure di seguito. In questo caso, il valore del raster di costo di input nella posizione della cella z5 viene interpretato come l'ampiezza S del gradiente del piano passante per i due punti noti e l'elevazione sconosciuta z5. Da questa relazione, puoi risolvere per z5. Questo è il passo Eikonal.
Viene calcolata l'entità della pendenza del piano.
Viene calcolata la direzione del gradiente.
Il passo Eikonal recupera anche le informazioni sull'aspetto in z5, che è chiamata direzione all'indietro.
Ora ci sono dodici approssimazioni per l'elevazione nella cella centrale. Il minimo di essi viene selezionato e registrato come valore di costo cumulativo z5 per la cella centrale. Se hai richiesto un raster in direzione opposta, l'aspetto del gradiente (come descritto nel paragrafo precedente) viene registrato nella posizione corrispondente nel raster in direzione opposta di output.
Questo processo viene ripetuto per una cella ogni volta che si ottiene un nuovo valore di elevazione per uno dei suoi vicini. Alla fine, i valori di elevazione smettono di cambiare e l'algoritmo termina. Le elevazioni iniziali sono fornite dalle sorgenti: sono zero o il valore di accumulazione iniziale per sorgente. Gli altri valori di elevazione iniziali sono impostati su infinito. I dettagli sono descritti in Sethian (1999). L'implementazione Esri di questo è una combinazione di tecniche descritte in Sethian (1999) e Zhao (2004).
In sintesi, partendo dalla pendenza di ogni cella, questi passaggi ricostruiscono sia l'elevazione della superficie di costo cumulativo sia la direzione di discesa più ripida.
Percorsi a minor costo
I percorsi a minor costo seguono la direzione in discesa più ripida sulla superficie del costo cumulativo. Quella direzione, per una cella, è mostrata sopra nella figura 8. Il raster in direzione opposta di output memorizza quella direzione per ogni cella. Puoi usare lo strumento Percorso ottimale come linea, con il raster in direzione opposta come input, per tracciare quei percorsi a partire da qualsiasi cella non di origine.
Nelle figure sottostanti, viene mostrato un percorso curvo a costo minimo che parte dalla cella blu non di origine d in alto a destra e viaggia verso la cella di origine inferiore s. Mentre d è geometricamente più vicino all'origine superiore, a causa dell'elevato costo attorno a tale origine, è più economico viaggiare verso s seguendo il percorso curvo.
La destinazione d è il quadrato blu. Viaggia attraverso un'area di costo inferiore fino all'origine che può raggiungere più a buon mercato, curvando attorno all'origine ad alto costo per farlo.
Sebbene possa sembrare che il nome sia controintuitivo, le posizioni di input per la costruzione del percorso a minor costo sono indicate come destinazioni. Le origini sono state utilizzate per costruire la superficie e sono i luoghi in cui terminano i percorsi meno costosi.
Le zone di allocazione attorno alle origini chiariscono ulteriormente che il percorso meno costoso dalla destinazione viaggerà verso la sorgente inferiore e non verso l'origine superiore. Successivamente, l'area selezionata verrà ingrandita per mostrare come vengono interpretati i valori della cella nel raster in direzione opposta.
La rappresentazione reticolata che collega i centri delle celle di direzione posteriore è mostrata in grigio scuro. I limiti delle celle sono mostrati in grigio chiaro e i valori delle celle sono mostrati come frecce di azimut. Poiché il percorso meno costoso attraversa le linee del reticolo, utilizza l'azimut nella cella di direzione posteriore più vicina nella direzione di viaggio per aggiornare la sua direzione. Al vertice del percorso superiore accanto alla cella a, il valore di direzione all'indietro memorizzato in a verrà utilizzato per dirigere la linea che lascia quel vertice. La successiva linea della rappresentazione reticolata da attraversare è la più vicina alla cella b, in modo che l'azimut venga utilizzato per uscire dal secondo vertice e così via.
In sintesi, i percorsi meno costosi iniziano e finiscono nei centri delle celle. Altri vertici del percorso possono essere ovunque sulla rappresentazione reticolata di linee orizzontali e verticali che attraversano i centri delle celle.
Calcolo della pendenza effettiva
I valori di pendenza descritti nella sezione precedente non provengono strettamente dal raster di attrito dei costi di input. Ci sono molti altri input che, insieme, determinano la pendenza effettiva utilizzata dall'algoritmo di ricostruzione della superficie. Una descrizione dettagliata di questi input, inclusa l'importanza di tenere conto della direzione del movimento attraverso una cella e della direzione del viaggio da o verso un'origine, è presentata in altri argomenti. Qui, l'attenzione si concentra su come gli input vengono utilizzati dall'algoritmo di ricostruzione della superficie. Gli input sono i seguenti:
- L'input di attrito di costo, C
- L'input di superficie, S
- Il moltiplicatore del costo all'origine, M
- La funzione fattore orizzontale, HF
- La funzione fattore verticale, VF
La pendenza effettiva utilizzata dall'algoritmo di ricostruzione ha questa forma generale:
Pendenza effettiva = C * S * M * HF * VF
Questo valore viene quindi moltiplicato per la dimensione della cella o per la dimensione della cella sqrt(2) * e aggiunto a un'altezza esistente per ottenere una delle stime dell'altezza della direzione della rete. Una funzione più complicata di pendenza effettiva viene utilizzata per ottenere una stima dell'altezza per il gradino Eikonal.
La pendenza effettiva deve avere unità di costo cumulativo divise per la distanza lineare, un tasso. Ad esempio, se la superficie del costo cumulativo misura il tempo di viaggio in ore e la dimensione cella di analisi è in metri, la pendenza effettiva deve avere unità di ore/metro.
Poiché la pendenza effettiva è un prodotto di diversi termini, è necessario assicurarsi che le unità dei singoli termini si combinino per produrre le unità di pendenza effettiva corrette. Ad esempio, se si utilizza solo un semplice raster di attrito dei costi per descrivere il tempo di viaggio indipendentemente dalla direzione, i valori della cella del raster di attrito dei costi devono avere unità di ore/metro. In alternativa, se si utilizza anche la funzione di escursione di Tobler come funzione di fattore verticale, tale funzione di escursione avrà unità di ore/metro e la superficie di attrito del costo, se presente, deve essere interpretata come un peso senza unità. È quindi necessario assicurarsi che i valori della cella di attrito dei costi possano essere interpretati in questo modo. In altre parole, la tua funzione verticale e l'attrito dei costi non possono essere entrambi tariffe.
Non controlli direttamente l'input di superficie (S). È un peso senza unità che allunga la dimensione della cella per coprire l'effettiva distanza della superficie 3D tra i centri delle cellule. Nella Figura 2, l'algoritmo di ricostruzione della superficie calcola un'altezza z5 per la cella centrale effettuando approssimazioni multiple per tale altezza utilizzando la pendenza dal raster di attrito del costo di input nella cella centrale, insieme alle altezze note presunte per le celle vicine.
Le barriere sono collegate ai bordi
Barriere negli strumenti Accumulo distanza e Allocazione distanza come celle di input che non si possono attraversare. Sono rappresentati come celle NoData durante il calcolo. Sono presentati in modo esplicito come parametro dello strumento o implicitamente come valori NoData in uno degli altri input raster (come il raster di attrito dei costi). Nel primo caso, vengono rasterizzati e trasformati in NoData nel cost raster. Poiché l'algoritmo di ricostruzione della superficie non può abbassare la stima dell'altezza per una cella barriera, troverà invece un modo per aggirarla.
L'algoritmo di ricostruzione della superficie utilizza tutti gli otto vicini di una cella per trovare la stima dell'altezza. I vicini di barriera collegati all'angolo non impediranno l'utilizzo di un vicino diagonale per ottenere una stima dell'altezza. Nell'immagine sottostante, è possibile ottenere una stima dell'altezza per z5 da z3, anche se le celle z2 e z6 sono barriere.
Se z2 e z6 fossero destinati a far parte di un elemento di barriera lineare, come un canale o un fiume, questo comportamento vanificherebbe l'intento della barriera. Per evitare ciò, l'algoritmo di ricostruzione della superficie favorisce il collegamento delle celle barriera rispetto al collegamento delle celle non barriera. Ciò significa che ulteriori celle NoData vengono introdotte nel raster dei costi per garantire che tutte le celle barriere esistenti condividano un bordo. Nell'immagine sopra, anche la cella z5 o la cella z3 diventerebbero una cella di barriera.
Quando si utilizzano le barriere nell'analisi, considerare questo comportamento e regolare di conseguenza la dimensione della cella di analisi in modo da preservare la connettività prevista intorno alle barriere. Puoi usare lo strumento Statistiche focali per addensare le versioni raster delle feature lineari per usarle come barriere o come reti lineari, che non dovrebbero essere interrotte da celle di barriera adiacenti.
Riferimenti
Douglas, D. "Least-cost Path in GIS Using an Accumulated Cost Surface and Slopelines", Cartographica: The International Journal for Geographic Information and Geovisualization, 1994, Vol. 31, N. 3, DOI: 10.3138/D327-0323-2JUT-016M
Goodchild, M.F. "An evaluation of lattice solutions to the problem of corridor location", Environment and Planning A: Economy and Space, 1977, vol. 9, pp. 727-738
Sethian, J.A. Level Set Methods and Fast Marching Methods (Evolving Interfaces in Computational Geometry, Fluid Mechanics, Computer Vision, and Materials Science) 2nd Edition, Cambridge University Press, 2nd edition (June 1, 1999)
Warntz, W. "Transportation, Social Physics, and the Law Of Refraction", The Professional Geographer, 1957, Vol. 9, No. 4, pp. 2-7.
Zhao, H. "A fast sweeping method for Eikonal equations", Mathematics of Computation, 2004, Vol. 74, No. 250, pp. 603-627