Formeln für die Transformationsfunktionen

In diesem Abschnitt werden die Formeln erklärt, die für die Transformationsfunktionen im Werkzeug Erneut skalieren nach Funktion verwendet werden. Die Formeln für die Transformationsfunktionen werden als Map Algebra-Ausdrücke in Spatial Analyst dargestellt.

Die allgemeine Formel für jede Transformationsfunktion wird identifiziert. Standardmäßig wird die allgemeine Formel geändert, um sie an das Minimum (lowerThreshold) und das Maximum (upperThreshold) des Eingabe-Datasets anzupassen. Außerdem wird unten gezeigt, wie die Standardparameter bestimmt werden.

Mithilfe der allgemeinen Formel kann eine beliebige Anzahl von Funktionskurven definiert und ein beliebiger Teil der Funktionskurve erfasst werden. In der Standardversion der Formel gibt es nur eine Kurve für die Funktion, die an das Minimum und Maximum des Eingabe-Datasets angepasst wird. Dies hat zur Folge, dass zusätzlich zur Anwendung der linearen Skalierung der transformierten Werte Daten, die in unterschiedlichen Einheiten wie z. B. Celsius oder Fahrenheit dargestellt werden, dieselben Ausgabe-Auswertungswerte produzieren.

Anwenden einer Transformationsfunktion

Prinzipiell besteht die Anwendung einer Transformationsfunktion aus den folgenden Schritten:

1. Festlegen des Eingabe-Datasets und der Funktionsparameter
2. Anwenden der Transformationsformel
3. Lineares Skalieren der transformierten Werte auf den Auswertungsmaßstab

Die lineare Transformationsgleichung, die in Schritt 3 oben zum Skalieren der transformierten Werte auf den Auswertungsmaßstab verwendet wird, lautet wie folgt:

ScaledY = fromScale + (Y - min(Y)) * r

Dabei gilt:

• Y = F(In) ist der transformierte Wert mit der Formel F, wie in den folgenden allgemeinen Formen gezeigt:
• In ist der Eingabewert.
• r ist das Ergebnis von (toScale - fromScale) / (max(Y) - min(Y)).
• min(Y) ist der Minimalwert von Y.
• max(Y) ist der Maximalwert von Y.
• fromScale. ist das Minimum des Auswertungsmaßstabs (z. B. "1").
• toScale ist das Maximum des Auswertungsmaßstabs (z. B. "10").

Exponentiell

Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion Exponential aufgeführt.

Allgemeine Form

Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.

Exp((In - inShift) * baseFactor)

Dabei gilt:

• In ist der Eingabewert.
• inShift ist der von den Eingabewerten subtrahierte Wert.
• baseFactor ist ein Multiplikator für die verschobenen Eingabewerte, der steuert, wie steil die Exponentialfunktion ansteigt.

Standardwerte

Die Standardwerte von inShift und baseFactor werden wie folgt berechnet.

inShift = Con(toScale > fromScale, A, B)

baseFactor = Con(toScale > fromScale, C, D)

Dabei gilt:

• A = (minIn * Ln(toScale) - maxIn * Ln(fromScale)) / (Ln(toScale) - Ln(fromScale))
• B = (minIn * Ln(fromScale) - maxIn * Ln(toScale)) / (Ln(fromScale) - Ln(toScale))
• C = (Ln(toScale) - Ln(fromScale)) / (maxIn - minIn)
• D = (Ln(fromScale) - Ln(toScale)) / (maxIn - minIn)
• Ln ist der Logarithmus eines Wertes mit der Basis e.
• minIn ist das Minimum der Eingabe.
• maxIn ist das Maximum der Eingabe.

Gauß

Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion Gauß'sche aufgeführt.

Allgemeine Form

Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.

Exp(-Spread * Square(In - MidPoint))

Dabei gilt:

• Spread ist der Parameter "Spanne", der die Steilheit der Abnahme vom Mittelpunkt steuert.
• In ist der Eingabewert.
• MidPoint ist der Parameter "Mittelpunkt", der das Zentrum der Gauß'schen Kurve definiert.

Standardwerte

Die Standardwerte von Spread und MidPoint werden wie folgt berechnet.

Spread = Ln(10) * 4 / Pow(MidPoint - minIn, 2)

MidPoint = (maxIn + minIn) / 2

Dabei gilt:

• Ln(10) ist der Logarithmus von 10 mit der Basis e.
• Pow(MidPoint - minIn, 2) ist der Wert von MidPoint - minIn potenziert mit 2.
• minIn ist das Minimum der Eingabe.
• maxIn ist das Maximum der Eingabe.

Groß

Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion Groß aufgeführt.

Allgemeine Form

Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.

1.0 / (1.0 + Pow(In / MidPoint, - Spread))

Dabei gilt:

• In ist der Eingabewert.
• MidPoint ist der Parameter "Mittelpunkt", der den Übergangspunkt der Funktion definiert.
• Spread ist der Parameter "Spanne", der steuert, wie schnell die Präferenz zu- und abnimmt.

Standardwerte

Die Standardwerte von Spread und MidPoint werden wie folgt berechnet.

Spread = 5

MidPoint = (maxIn + minIn) / 2

Dabei gilt:

• minIn ist das Minimum der Eingabe.
• maxIn ist das Maximum der Eingabe.

Linear

Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion Linear aufgeführt.

Allgemeine Form

Die allgemeinen Formen der Formel je nach Neigungstyp lauten wie folgt:

Positive Neigung (Min < Max):

Con(In < Min, 0, Con(In > Max, 1, (In - Min) / Diff))

Negative Neigung (Min > Max):

Con(In > Min, 0, Con(In < Max, 1, (In - Min) / Diff))

Dabei gilt:

• In ist der Eingabewert.
• Min ist das angegebene Minimum, das den ersten Punkt bestimmt, durch den die lineare Funktion führen muss.
• Max ist das angegebene Maximum, das den zweiten Punkt bestimmt, durch den die lineare Funktion führen muss.
• Diff gleich Max - Min

Standardwerte

Die Standardwerte von Min und Max werden wie folgt berechnet.

Min = minIn

Max = maxIn

Dabei gilt:

• minIn ist das Minimum der Eingabe.
• maxIn ist das Maximum der Eingabe.

Logarithmus

Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion Logarithmus aufgeführt.

Allgemeine Form

Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.

Ln((In - inShift) * baseFactor)

Dabei gilt:

• In ist der Eingabewert.
• InShift ist der von den Eingabewerten subtrahierte Wert.
• baseFactor ist der Multiplikator der verschobenen Eingabewerte, der den Anstieg der Logarithmusfunktion steuert.

Standardwerte

Die Standardwerte von inShift und baseFactor werden wie folgt berechnet.

inShift = Con(toScale > fromScale, A, B)

baseFactor = Con(toScale > fromScale, C, D)

Dabei gilt:

• A = (minIn * Exp(toScale) - maxIn * Exp(fromScale)) / (Exp(toScale) - Exp(fromScale))
• B = (minIn * Exp(fromScale) - maxIn * Exp(toScale)) / (Exp(fromScale) - Exp(toScale))
• C = (Exp(toScale) - Exp(fromScale)) / (maxIn - minIn)
• D = (Exp(fromScale) - Exp(toScale)) / (maxIn - minIn)
• Exp ist der Exponentialwert eines Wertes mit der Basis e.
• minIn ist das Minimum der Eingabe.
• maxIn ist das Maximum der Eingabe.

LogisticDecay

Nachfolgend sind die Formeln für die Transformationsfunktion LogisticDecay aufgeführt.

Allgemeine Form

Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.

C / (1 + A * Exp((In - Min) * B))

Die Definitionen der Parameter in der Formel sind identisch mit denen von LogisticGrowth.

Hinweis:

In der Gleichung der Funktion LogisticGrowth werden die Berechnungen von Exponential über den Negativwert des Wertes zur Berechnung des Exponentialwertes bestimmt: Exp( - (In - Min) * B).

LogisticGrowth

Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion LogisticGrowth aufgeführt.

Allgemeine Form

Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.

C / (1 + A * Exp( - (In - Min) * B))

Dabei gilt:

• Min ist das angegebene Minimum, das den Startpunkt des logischen Wachstums bestimmt.
• C ist die Kapazität oder obere horizontale Asymptote.
• A bestimmt den Schnittpunkt, wenn In = Min.
• B bestimmt die Basis der Exponentialfunktion Exp.

Standardwerte

Die Standardwerte von C, A und B werden wie folgt bestimmt.

C = 100

A = C / yInterceptPercent - 1

B = Ln(A) / (0.5 * (Max + Min) - Min)

Dabei gilt:

• yInterceptPercent ist der Prozentsatz des Y-Schnittpunkts, dividiert durch C, das standardmäßig für LogisticGrowth auf 1 und für LogisticDecay auf 99 festgelegt ist.
• Min ist das angegebene Minimum, das standardmäßig auf den Minimalwert der Eingabe festgelegt ist.
• Max ist das angegebene Maximum, das standardmäßig auf den Maximalwert der Eingabe festgelegt ist.
• Ln(A) ist der Logarithmus von A mit der Basis e.
• 0.5 * (Max + Min) ist die X-Koordinate des Wendepunkts y = C / 2, wodurch der Wendepunkt in die Mitte von Min und Max gesetzt wird.

MSLarge

Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion MSLarge aufgeführt.

Allgemeine Form

Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.

Con(In > nMeans, 1 - (nStdv / (In - nMeans + nStdv)), 0)

Dabei gilt:

• In ist der Eingabewert.
• nMeans entspricht meanMultiplier * Mittelwert.
• nStdv entspricht STDMultiplier * Std., wobei sich Std. auf die Standardabweichung in der Gesamtpopulation bezieht.

Standardwerte

meanMultiplier und STDMultiplier sind standardmäßig auf 1 festgelegt.

MSSmall

Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion MSSmall aufgeführt.

Allgemeine Form

Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.

Con(In > nMeans, nStdv / (In - nMeans + nStdv), 1)

Dabei gilt:

• In ist der Eingabewert.
• nMeans entspricht meanMultiplier * Mittelwert.
• nStdv entspricht STDMultiplier * Std., wobei sich Std. auf die Standardabweichung in der Gesamtpopulation bezieht.

Standardwerte

meanMultiplier und STDMultiplier sind standardmäßig auf 1 festgelegt.

Near

Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion Nah aufgeführt.

Allgemeine Form

Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.

1.0 / (1.0 + Spread * Pow(In - MidPoint, 2))

Dabei gilt:

• In ist der Eingabewert.
• Spread ist der Parameter "Spanne", der die Steilheit der Abnahme vom Mittelpunkt steuert.
• MidPoint ist der Parameter "Mittelpunkt", der das Zentrum der Kurve angibt.

Standardwerte

Die Standardwerte von Spread und MidPoint werden wie folgt berechnet.

Spread = 36 / Pow(MidPoint - minIn, 2)

MidPoint = (maxIn + minIn) / 2

Dabei gilt:

• Pow(MidPoint - minIn, 2) ist der Wert von MidPoint - minIn potenziert mit 2.
• minIn ist das Minimum der Eingabe.
• maxIn ist das Maximum der Eingabe.

Potenz

Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion Potenz aufgeführt.

Allgemeine Form

Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.

Pow(In - inShift, Exponent)

Dabei gilt:

• In ist der Eingabewert.
• inShift ist der von den Eingabewerten subtrahierte Wert.
• Exponent ist der Exponent, auf den die Funktion erhöht wird.

Standardwerte

Die Standardwerte von inShift und Exponent werden wie folgt berechnet.

inShift = Con(toScale > fromScale, A, B)

Dabei gilt:

• A = Con(fromScale == 1, minIn - 1, minIn)
• B = Con(toScale == 1, minIn - 1, minIn)
• minIn ist das Minimum der Eingabe.
• maxIn ist das Maximum der Eingabe.

Exponent = Con(toScale > fromScale, C, D)

Dabei gilt:

• C = Con(fromScale == 0, C1, Con(fromScale == 1, C2, 2))
• C1 = Con(toScale <= 1, 1, Ln(toScale) / (maxIn - inShift))
• C2 = Ln(toScale) / Ln(maxIn - inShift)
• D = Con(toScale == 0, D1, Con(toScale == 1, D2, 2))
• D1 = Con(fromScale <= 1, 1, Ln(fromScale) / (maxIn - inShift))
• D2 = Ln(fromScale) / Ln(maxIn - inShift)
• Ln ist der Logarithmus eines Wertes mit der Basis e.
• minIn ist das Minimum der Eingabe.
• maxIn ist das Maximum der Eingabe.

Klein

Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion Klein aufgeführt.

Allgemeine Form

Die allgemeine Form der Formel lautet wie folgt.

1.0 / (1.0 + Pow(In / MidPoint, Spread))

Dabei gilt:

• In ist der Eingabewert.
• MidPoint ist der Parameter "Mittelpunkt", der den Übergangspunkt der Funktion definiert.
• Spread ist der Parameter "Spanne", der steuert, wie schnell die Präferenz zu- und abnimmt.

Standardwerte

Die Standardwerte von Spread und MidPoint werden wie folgt berechnet.

Spread = 5

MidPoint = (maxIn + minIn) / 2

Dabei gilt:

• minIn ist das Minimum der Eingabe.
• maxIn ist das Maximum der Eingabe.

SymmetricLinear

Nachfolgend sind die Formeln und Standardwerte für die Transformationsfunktion Symmetrisch Linear aufgeführt.

Allgemeine Form

Der allgemeinen Formen der Formel für verschiedene Arten von Neigungen lauten wie folgt.

Für positive Neigungen (Min < Max):

Con(In < Min , 0, Con(In < MidP, (In - Min) / HDiff, Con(In > Max, 0, (Max - In) / HDiff)))

Für negative Neigungen (Min > Max):

Con(In < Max, 1, Con(In < MidP, (In - MidP) / HDiff, Con(In > Min, 1, (MidP - In) / HDiff)))

Dabei gilt:

• In ist der Eingabewert.
• Min ist das angegebene Minimum, das einen Punkt festlegt, durch den die Funktion SymmetricLinear führen muss.
• Max ist das angegebene Maximum, das den anderen Punkt festlegt, durch den die Funktion SymmetricLinear führen muss.
• Diff gleich Max - Min
• HDiff gleich 0.5 * Diff
• MidP gleich Min + HDiff

Standardwerte

Die Standardwerte von Min und Max werden wie folgt berechnet.

Min = minIn

Max = maxIn

Dabei gilt:

• minIn ist das Minimum der Eingabe.
• maxIn ist das Maximum der Eingabe.