Как работает инструмент Плотность ядер

Инструмент Плотность ядер вычисляет плотность объектов вокруг этих объектов. Она может быть вычислена и для точечных, и для линейных объектов.

Возможные примеры использования включают анализ плотности домов или преступлений при городском планировании, либо изучение того, как технические сооружения или дороги влияют на дикую природу. Поле генеральной совокупности может использоваться для присвоения некоторым объектам более высоких весов, в зависимости от их значения, либо для обеспечения возможности представления несколько наблюдений одной точкой. Например, один адрес может представлять кондоминиум, состоящий из шести владений, либо некоторым преступлениям может быть присвоен более высокий вес в соответствии с их тяжестью. Что касается линейных объектов, то автомагистраль может оказывать большее влияние, чем узкая грунтовая дорога.

Как инструмент Плотность ядер выполняет вычисления

Плотность ядер вычисляется по разному для разных объектов.

Точечные объекты

Инструмент Плотность ядер вычисляет плотность точечных объектов вокруг каждой ячейки выходного растра.

Концептуально, для каждой точки подбирается (строится) сглаженная изогнутая поверхность. Значение поверхности максимально в местоположении точки и уменьшается с увеличением расстояния от точки, достигая нуля на расстоянии, равном заданному Радиусу поиска от точки. Возможно использование только окрестности в форме круга. Объем под поверхностью равен значению Поля генеральной совокупности для точки, либо единице, если задано значение "NONE (НЕТ)". Значение плотности в каждой ячейке выходного растра вычисляется путем сложения значений всех ядер, в тех точках, где они накладываются на центр ячейки растра. В основе функции ядра лежит функция квартетного ядра, описанная в Silverman (1986, стр. 76, уравнение 4.5).

Если значение Поля генеральной совокупности отличается от значения NONE, значение каждого элемента определяет количество подсчетов точки. Например, значение, равное трем, приводит к тому, что точка будет подсчитана три раза. Значения могут быть целыми числами или числами с плавающей точкой.

По умолчанию, единица измерения выбирается, исходя из единиц измерения в определении проекции входных точечных объектов, или же единиц, определяемых параметром среды Выходной системы координат.

Если выбраны Единицы площади, вычисленная для ячейки площадь умножается на соответствующий коэффициент до того, как значение записывается в выходной растр. Например, линейные единицы измерения - метры, единицы измерения площади по умолчанию будут установлены как Квадратные километры. Применение коэффициента пересчета для перевода метров в километры в результате выдаст значения, отличающиеся на множитель, равный 1000000 (1000 × 1000).

Линейные объекты

Инструмент Плотность ядер также вычисляет плотность линейных объектов в окрестности каждой ячейки выходного растра.

Концептуально, над каждой линией подбирается (строится) сглаженная изогнутая поверхность. Значение поверхности максимально над линией и уменьшается с увеличением расстояния от линии, достигая нуля на расстоянии, равном заданному Радиусу поиска от линии. Поверхность определяется таким образом, что объем под поверхностью равен произведению длины линии и значения Поля генеральной совокупности. Значение плотности в каждой ячейке выходного растра вычисляется путем сложения значений всех ядер, в тех точках, где они накладываются на центр ячейки растра. Кернфункция для вычисления плотности линий адаптирована из уравнения квадратичной кернфункции для вычисления плотности точек, описанного Сильверманом (1986, с. 76, уравнение 4.5).

Показаны сегмент линии и подобранная для него поверхность ядра.

Приведенный выше рисунок показывает сегмент линии и подобранную для него поверхность ядра. Вклад сегмента линии в плотности равен значению поверхности ядра в центре ячейки растра.

По умолчанию, единица измерения выбирается, исходя из единиц измерения в определении проекции входных линейных объектов, или же единиц, определяемых параметром среды выходной системы координат.

Если задан выходной коэффициент Единицы площади, он будет применен для пересчета как линейных единиц, так и единиц площади. Например, если в качестве линейных единиц измерения использовать метры, по умолчанию единицами измерения плотности выходной области будут Квадратные километры, итоговые единицы линейной плотности будут преобразованы в километры на квадратный километр. Конечным результатом, учитывая коэффициент преобразования из метров в километры, будут значения плотности, отличающиеся на множитель 1000.

Вы можете контролировать единицы плотности, как для точечных, так и для линейных объектов вручную выбирая соответствующий коэффициент пересчета. Чтобы плотность выражалась в метрах на квадратный метр (вместо установленных по умолчанию километров на квадратный километр), установите единицы площади на Квадратные метры. Аналогично предыдущему примеру, чтобы получить плотность в милях на квадратную милю, задайте в качестве единиц измерения площади Квадратные мили.

Если значение Поле генеральной совокупности отличается от значения NONE, длина линии принимается равной истинной длине, умноженной на значение поля величины для этой линии.

Формулы для вычисления плотности ядер

Следующие формулы определяют, как вычисляется плотность ядер для точек и как определяется радиус поиска по умолчанию в формуле плотности ядер.

Предсказание плотности для точек

Предсказанная плотность в новом местоположении (x, y) определяется следующей формулой:

, где:

• i = 1,…,n являются входными точками. В сумму включаются только точки, которые попадают в пределы расстояния радиуса от местоположения (x, y).
• pop_i – значение Поля генеральной совокупности точки I, что является дополнительным параметром.
• dist_i – расстояние между точкой i и местоположением (x, y).

Вычисленная плотность затем умножается на количество точек, либо сумму Поля генеральной совокупности, если она указана. Эта поправка делает пространственную составляющую равной числу точек (или сумме поля генеральной совокупности), а не всегда равной 1. Это улучшение использует подход Quartic kernel (Silverman, 1986). Эта формула должна быть вычислена для каждого местоположения, в которой вы хотите оценить плотность. После того, как будет создан растр, вычисления будут применены к центрам каждой ячейки в выходном растре.

Радиус поиска (ширины полосы) по умолчанию

Алгоритм, используемый для определения радиуса поиска по умолчанию, также известного как ширина полосы, делает следующее:

1. Вычисляется усредненный центр входных точек. Если есть Поле генеральной совокупности, то данное и все последующие вычисления будут взвешены по значениям данного поля.
2. Вычисляется расстояние от (взвешенного) усредненного центра всех точек.
3. Вычисляется (взвешенная) медиана данных расстояний, D_m.
4. Вычисляется (взвешенное) значение Стандартного расстояния, SD.

   Для более подробной информации о том, как работает инструмент Пространственной статистики см.Стандартное расстояние.

5. Примените следующую формулу для вычисления ширины полосы.

, где:

• D_m - это (взвешенное) медианное расстояние от (взвешенного) среднего центра.
• n является числом точек, если поле генеральной совокупности не используется, или, если оно используется, то n представляет собой сумму значений поля генеральной совокупности.
• SD является стандартным расстояниям.

Обратите внимание, что часть min уравнения означает то, что из двух вариантов, SD или , будет использоваться тот, который выдаёт меньшее значение.

Есть два метода вычисления стандартного расстояния: взвешенное и нет.

Невзвешенное расстояние

, где:

• x _{i ,} y _i и z _i являются координатами объекта i
• {x̄, ȳ, z̄} представляют собой усредненный центр объекта
• n равно общему числу объектов.

Взвешенное расстояние

, где:

• w_i - это вес объекта i
• {x _w, y _w, z _w} представляют взвешенный усредненный центр.

Методология

Этот метод выбора радиуса поиска основан на эмпирической формуле оценки полосы пропускания Сильвермана, но он был адаптирован для двух измерений. Такой подход к вычислению радиуса по умолчанию, как правило, позволяет избежать явления «кольца вокруг точек», которое часто встречается в разреженных наборах данных, и устойчиво к пространственным выбросам — нескольким точкам, которые находятся далеко от остальных точек.

Использование барьеров в вычислении плотности

Барьер может изменить значимость объекта в процессе вычисления плотности ядер для ячейки выходного растра. В качестве барьеров может быть слой полилинейных или полигональных объектов. Они могут влиять на вычисление плотности двумя путями, либо увеличивая расстояние между объектом и ячейкой, для которой вычисляется плотность, или исключая объект из вычисления.

Если барьеры отсутствуют, расстояние между объектом и ячейкой считается по прямой, то есть кратчайшее расстояние между объектом и центром ячейки. При открытом барьере, обычно представленном полилинией, путь между объектом и ячейкой зависит от барьера. В этом случае расстояние между объектом и ячейкой увеличивается за счет обхода барьера, как показано на рисунке ниже. В результате влияние признака уменьшается при оценке плотности в ячейке. Путь вокруг барьера строится от входного объекта до ячейки и состоит из серии прямых линий, огибающих барьер. Это все равно кратчайший путь, но он существенно длиннее, чем если бы барьер отсутствовал. С замкнутым барьером, обычно представляемым полигоном, внутри которого содержатся некоторые объекты, при вычислении плотности для ячейки с другой стороны барьера, объекты внутри него не учитываются.

Приведена иллюстрация для вычисления расстояния между ячейкой и входным точечным объектом. Плотность ядер без барьера – слева, с барьером – справа.

Операция вычисления плотности ядер с барьерами в ряде случаев обеспечивает более реалистичные и точные результаты, в сравнении с вычислением плотности ядер без барьеров. Например, при изучении плотности распространения видов земноводных, наличие барьера, представляющего скалу или дорогу может влиять на миграцию животных. Скала или дорога могут использоваться в качестве барьера для более точной оценки плотности. Также, результаты анализа плотности мест преступлений в городе могут варьировать, если город разделен рекой, которая играет роль барьера.

На рисунке ниже показаны результаты вычисления плотности ядер для точек дорожно-транспортных происшествий в ночное время в Лос-Анжелесе (data на городском портале Los Angeles County GIS Data). Плотность вычисляется без барьера (слева -1) и с барьером отдельно по обеим сторонам дорог (справа - 2). При наличии барьера инструмент обеспечивает значительно лучшую оценку плотности, так как расстояние измеряется вдоль линий дорожной сети, а не используется кратчайшее расстояние между двумя инцидентами.

Оценка плотности ядер без барьеров (1) и с барьерами, то есть вычисление расстояния выполняется выполняется вдоль дорог (2).

Список литературы

Silverman, B. W. Density Estimation for Statistics and Data Analysis. New York: Chapman and Hall, 1986.