Operacja statystyki strefowej to operacja, która oblicza statystykę wartości komórek rastra (rastra wartości) w obrębie stref zdefiniowanych przez inny zestaw danych. Istnieją dwa narzędzia obliczające statystykę według stref: Statystyka strefowa i Statystyka strefowa jako tabela.
Narzędzie Statystyka strefowa oblicza tylko jedną statystykę na raz i tworzy raster wynikowy. Ta wartość staje się wartością komórki rastra wynikowego dla komórek odpowiadających danej strefie. Jeśli obiekt strefy zawiera nakładające się strefy, statystyka jest obliczana dla tylko jednej strefy, ponieważ komórka w rastrze wynikowym może reprezentować tylko jedną wartość.
Narzędzie Statystyka strefowa jako tabela oblicza jedną bądź większą liczbę statystyk z użyciem wstępnie zdefiniowanych podzbiorów lub wszystkich statystyk i tworzy tabelę wynikową. Tak jak w przypadku narzędzia Statystyka strefowa wynikiem jest pojedyncza wartość statystyki dla każdej strefy. W tabeli wynikowej istnieje jeden rekord dla każdej strefy, a wartości statystyk są umieszczane we wstępnie zdefiniowanych polach. Jeśli wejściową strefą jest obiekt i zawiera on nakładające się strefy, statystyki są obliczane dla wszystkich stref, a dane wynikowe są umieszczane w pojedynczych rekordach dla każdej strefy.
Wejściowa warstwa strefy definiuje kształt, wartości i lokalizację stref. Może to być raster albo obiekt. Podczas wykonywania operacji strefowej dane obiektowe są najpierw konwertowane na raster. W danych rastra strefą są wszystkie komórki mające tę samą wartość, niezależnie od tego, czy są to komórki ciągłe, czy nie. Każda strefa musi być unikalna, a jeśli jest to raster, musi mieć typ danych całkowitoliczbowy. Strefy mogą być definiowane przez dowolne pole całkowitoliczbowe lub znakowe o unikalnych wartościach w strefie wejściowej.
Wejściowy raster wartości zawiera wartości używane do obliczania statystyk wynikowych dla każdej strefy. Może to być typ danych całkowitoliczbowych lub zmiennoprzecinkowych.
Na poniższej ilustracji dla każdej strefy zidentyfikowana jest średnia wartości wejściowych:
Sposób identyfikowania komórek w rastrze wartości na potrzeby strefy rastra
W celu obliczenia statystyki narzędzie wyodrębnia najpierw wartości wszystkich komórek leżących w poszczególnych strefach z rastra wartości. Ta identyfikacja komórek w rastrze wartości w obrębie strefy jest wykonywana przez nałożenie stref na raster wartości. Jeśli zarówno strefa, jak i wartości wejściowe są rastrami o takiej samej wielkości komórki, a komórki są wyrównane, wyodrębniane są wartości komórek rastra wartości, które nakładają się na komórki stref i obliczane są statystyki.
Jeśli wielkość komórki albo wyrównanie rastra stref jest inne niż rastra wartości, nie można dokładnie nałożyć na siebie komórek rastrów stref i wartości. W takiej sytuacji narzędzie wewnętrznie koryguje jeden lub oba rastry, aby uzyskać dokładne nakładanie się komórek. Korekta przebiega zgodnie z pewnymi prostymi regułami. Jeśli wielkości komórek rastra stref i rastra wartości różnią się, wielkość komórki danych wynikowych będzie równa Maksimum danych wejściowych, a raster wartości będzie używany wewnętrznie jako raster dociągania. Jeśli rozmiar komórki jest taki sam, ale komórki nie są wyrównane, raster wartości będzie używany wewnętrznie jako raster dociągania. Dowolny z tych przypadków spowoduje wewnętrzne ponowne próbkowanie przed wykonaniem operacji na strefie.
Sposób identyfikowania komórek w rastrze wartości na potrzeby strefy obiektowej
Operacja strefowa jest zasadniczo analizą rastrową wykonywaną na dwóch rastrach, z których jeden jest rastrem stref, a drugi jest rastrem wartości. Jeśli strefy są definiowane przez obiekty, wewnętrznie wykonywana jest konwersja obiektów na raster. Podczas wewnętrznej konwersji strefy poligonowej do rasteryzacji danych wejściowych z użyciem wielkości komórki i rastra dociągania rastra wartości stosowana jest metoda środka komórki w narzędziu Konwertuj obiekt na raster.Może to prowadzić do nieoczekiwanego braku stref w danych wynikowych, gdy środek żadnej komórki siatki rasteryzacji nie leży w obrębie strefy obiektowej. Sytuacja taka może wystąpić w przypadku stref, które są mniejsze niż obszar komórki wewnętrznego rastra stref, a także w przypadku większych stref.
W poniższym przykładzie rysunek (1) reprezentuje wejściową strefę obiektową, wejściowy raster wartości oraz środki jego komórek. Obiekty wejściowe mają trzy strefy (żółte kształty) i spełnione są następujące warunki:
- Strefa zone1 jest większa niż pojedyncza komórka.
- Strefy zone2 i zone3 są mniejsze niż komórka.
- Środek komórki leży poza strefą zone2, ale w obrębie strefy zone3.
W trakcie procesu rasteryzacji strefy na rysunku (2) żaden środek komórki nie leży w obrębie strefy zone1 ani zone2, dlatego rasteryzowana jest tylko strefa zone3, a pozostałe dwie właściwie znikają.
Aby nie dopuścić do znikania stref z danych wynikowych, należy zadbać o to, aby każda strefa zawierała jeden lub większą liczbę środków komórek z rastra wartości. Można to uzyskać na przykład, tworząc więcej środków komórek przez określenie mniejszej wielkości komórki w środowisku. Domyślnie wielkością komórki analizy jest wielkość komórki rastra wartości. Jeśli jednak w środowisku analizy określi się wielkość komórki, które jest mniejsza niż wielkość komórki rastra wartości, można wychwycić więcej stref, jak na ilustracji (3) powyżej. Należy pamiętać, że określenie mniejszej wielkości komórki spowoduje wygenerowanie większego rastra wynikowego. Wyższa rozdzielczość danych wynikowych nie musi oznaczać wyższej jakości wyniku, ponieważ dodatkowe szczegóły nie istnieją w rzeczywistości w wejściowym rastrze wartości.
Po skonwertowaniu strefy obiektowej na strefę rastra z użyciem wielkości komórki i wyrównania komórek z rastra wartości wyodrębnianie komórek rastra wartości w obrębie strefy jest wykonywane przez nałożenie stref na raster wartości.
Obliczanie statystyk arytmetycznych i kołowych
Obliczenie wartości średniej przez zsumowanie wszystkich wartości komórek, a następnie podzielenie przez liczbę komórek może działać w przypadku takich danych jak dane wysokościowe. Jeśli jednak dane reprezentują wielkości cykliczne, takie jak ekspozycja (kierunek kompasu wyrażony w stopniach w zakresie od 0 do 360) lub godzina dnia (od 0 do 24), obliczenie średniej arytmetycznej daje niepoprawny wynik, ponieważ wartości minimalna i maksymalna reprezentują tę samą wartość. W przypadku danych tego rodzaju należy obliczać statystyki kołowe.
Jeśli na przykład obliczana jest średnia dwóch wartości komórek: 0 i 360 stopni, średnia arytmetyczna będzie wynosić 180 stopni. Ten wynik jest niepoprawny, ponieważ 0 i 360 stopni reprezentują ten sam kierunek kompasu. Poprawną wartość uzyska się, obliczając średnią kołową. Wtedy wynikiem będzie 0 stopni.
Aby wskazać, że obliczana ma być statystyka kołowa, należy zaznaczyć parametr Oblicz statystyki kołowe (circular_calculation = "CIRCULAR" w języku Python). Podczas obliczania statystyk kołowych należy zwrócić uwagę na wartości najmniejsze i największe reprezentujące dane cykliczne. Przyjmuje się, że najmniejszą wartością jest 0. Wartość największą można określić w parametrze Wartość zawijania okrężnego (circular_wrap_value in Python). Wartością domyślną tego parametru jest 360.
W celu uzyskania poprawnego wyniku należy w zależności od typu danych wybrać typ obliczania statystyki oraz odpowiednią wartość zawijania okrężnego na potrzeby statystyki kołowej. Obsługiwane są następujące statystyki kołowe: Średnia, Większość, Mniejszość, Odchylenie standardowe oraz Zróżnicowanie.
Obliczanie statystyk strefowych w przypadku rastrów wielowymiarowych
Wielowymiarowe dane rastrowe reprezentują dane dotyczące wielu czasów, głębokości lub wysokości. Dane tego typu są często używane w naukach o atmosferze, oceanografii i naukach o Ziemi, a także są obserwowane przez platformy monitorujące, rejestrowane przez satelity lub generowane na podstawie numerycznych modeli symulacyjnych, w których dane są przetwarzane, agregowane lub interpolowane z użyciem różnych technik statystycznych.
Narzędzia Statystyka strefowa oraz Statystyka strefowa jako tabela obsługują dane wejściowe w postaci wielowymiarowych rastrów stref i wartości. Statystyki strefowe są obliczane dla wszystkich przekrojów rastra wielowymiarowego, gdy zaznaczony jest parametr Przetwarzaj jako wielowymiarowe (ALL_SLICES w parametrze process_as_multidimensional w języku Python). Jeśli parametr Przetwarzaj jako wielowymiarowe nie jest zaznaczony (CURRENT_SLICES w języku Python), przetwarzany jest tylko bieżący przekrój.
Przykłady analizy statystyk strefowych dotyczących danych wielowymiarowych:
- Meteorolog chce zbadać przemieszczanie się huraganu i rozkład opadów atmosferycznych na jego trasie w danym przedziale czasu. Korzystając z możliwości przetwarzania wielowymiarowego dostępnych w narzędziu Statystyka strefowa może on znaleźć średni opad atmosferyczny dla każdego przekroju czasu w strefach huraganu, który zmieniał się w czasie.
- Ekolog chce przyjrzeć się rozkładowi zdarzeń ekstremalnych na podstawie danych dotyczących maksymalnych dziennych opadów deszczu w ciągu ostatnich 30 lat w konkretnym dorzeczu. Narzędzie Statystyka strefowa jako tabela udostępniająca typ statystyk percentylowych dla listy wartości percentylowych umożliwia analizę rozkładu maksymalnych dziennych opadów deszczu dla danych szeregów czasowych przetwarzanych jako dane wielowymiarowe.
Wielowymiarowe dane wynikowe statystyk strefowych
Po wskazaniu, że narzędzie Statystyka strefowa ma przetwarzać dane wejściowe jako wielowymiarowe, tworzony jest wynikowy raster wielowymiarowy. Operacja strefowa jest wykonywana przekrój po przekroju między przekrojami rastra stref, a przekrojami bieżącej zmiennej z rastra wartości. Obliczone wartości statystyki są przechowywane w zmiennej wielowymiarowej o nazwie utworzonej przez połączenie nazwy zmiennej z rastra wartości z nazwą obliczanej statystyki. Liczba wymiarów zmiennej wynikowej oraz liczba przekrojów zależą od konkretnego charakteru wejściowych rastrów stref i wartości.
W przypadku narzędzia Statystyka strefowa jako tabela wskazanie, że dane mają być przetwarzane jako wielowymiarowe, powoduje wygenerowanie płaskiej tabeli wynikowej ze statystykami obliczonymi dla wszystkich stref i przekrojów. Tabela ta zawiera dodatkowe pola z nazwą zmiennej, nazwami wymiarów i ich wartościami, a także statystykami obliczonymi dla każdej strefy.
Ponieważ przetwarzanie wielowymiarowe jest wykonywane przekrój po przekroju między rastrami stref i wartości, liczba przekrojów w wynikowym rastrze wielowymiarowym uzyskanym z narzędzia Statystyka strefowa oraz liczba rekordów w tabeli wynikowej uzyskanej z narzędzia Statystyka strefowa jako tabela zależą od typu rastrów wejściowych i liczby zawartych w nich przekrojów. Odpowiednie przykłady są opisane w kolejnych sekcjach.
Wielowymiarowe rastry stref i wartości z tymi samymi wymiarami
Znajdowanie maksymalnego zasolenia na różnych głębokościach oceanu dla różnych zakresów temperatur na odpowiedniej głębokości wymaga obliczenia statystyki strefowej na wielowymiarowym rastrze stref reprezentującym strefy temperatury oraz wielowymiarowym rastrze wartości reprezentującym zasolenie. Operacja strefowa będzie wykonywana dla każdego przekroju strefy z odpowiednim przekrojem rastra wartości. Wynikowy raster wielowymiarowy będzie miał taką samą liczbę przekrojów jak raster wartości.
Na poniższej ilustracji zmienne obydwu rastrów stref i wartości mają te same trzy wymiary: x, y oraz d i tę samą liczbę przekrojów w wartościach wymiarów: d0, d1 oraz d2. Zmienna w wynikowym rastrze wielowymiarowym również będzie miała te same trzy wymiary: x, y oraz d i tę samą liczbę przekrojów w wartościach wymiarów: d0, d1 oraz d2.
Łączna liczba rekordów w danych wynikowych narzędzia Statystyka strefowa jako tabela jest określana przez dodanie liczby stref w każdym przekroju. Jeśli liczba stref na głębokościach d0, d1 oraz d2 to odpowiednio 5, 4 oraz 3, łączna liczba rekordów będzie wynosić 12 (5 + 4 + 3 = 12).
Wielowymiarowe rastry stref i wartości z różnymi wymiarami
Odpowiednią lokalizację oraz okno czasu do wdrożenia takich zasobów jak zdalnie kierowane pojazdy podwodne (ROV) można określić przez obliczenie statystyki strefowej z użyciem wielowymiarowego rastra stref reprezentującego potencjalne lokalizacje tych pojazdów w różnych czasach oraz wielowymiarowego rastra wartości takiego jak wynikowy model Hybrid Coordinate Ocean Model (HYCOM) reprezentującego prądy oceaniczne na różnych głębokościach w różnych czasach.
Operacja strefowa będzie wykonywana dla każdego przekroju z rastra stref z każdym przekrojem rastra wartości. Liczba przekrojów w wynikowym rastrze wielowymiarowym jest określana przez pomnożenie liczby przekrojów w rastrze stref przez liczbę przekrojów w rastrze wartości.
Na poniższej ilustracji zmienna w rastrze stref ma trzy wymiary: x, y oraz d i trzy przekroje w wartościach wymiarów: d0, d1 oraz d2. Zmienna w rastrze wartości ma trzy wymiary: x, y oraz t i dwa przekroje w wartościach wymiarów: t0 oraz t1. Zmienna w wynikowym rastrze wielowymiarowym będzie miała cztery wymiary: x, y, d oraz t.
Łączna liczba przekrojów w danych wynikowych narzędzia Statystyka strefowa jest określana przez pomnożenie liczby głębokości w rastrze stref i liczby etapów czasowych w rastrze wartości. W tym przypadku jest to 6 (3 głębokości x 2 czasy = 6). Łączna liczba rekordów w danych wynikowych narzędzia Statystyka strefowa jako tabela jest określana przez pomnożenie liczby stref w każdym przekroju. Jeśli liczba stref to 5, łączna liczba rekordów w tym przypadku jest równa 30 (5 stref x 3 głębokości x 2 czasy = 30).
Tylko wielowymiarowy raster wartości
Znajdowanie maksymalnej temperatury w każdym hrabstwie dla każdego dnia roku wymaga obliczenia statystyk strefowych z użyciem wielowymiarowego rastra wartości reprezentującego dzienną temperaturę oraz rastra strefa reprezentującego hrabstwa. Operacja strefowa będzie wykonywana dla każdego przekroju z rastra wartości z użyciem tego samego rastra stref. Wynikowy raster wielowymiarowy będzie miał taką samą liczbę przekrojów jak raster wartości.
Na poniższej ilustracji zmienna w rastrze wartości ma trzy wymiary: x, y oraz t i trzy przekroje w wartościach wymiarów: t0, t1 oraz t2. Zmienna w wynikowym rastrze wielowymiarowym również będzie miała te same trzy wymiary: x, y oraz t i tę samą liczbę przekrojów w wartościach wymiarów: t0, t1 oraz t2.
Łączna liczba rekordów w danych wynikowych narzędzia Statystyka strefowa jako tabela jest określana przez pomnożenie liczby stref i liczby przekrojów w rastrze wartości. Jeśli liczba stref to 5, łączna liczba rekordów jest równa 15 (5 x 3 = 15).
Tylko wielowymiarowy raster stref
Znajdowanie średniego dekadowego maksimum opadów w każdej kategorii strefy zalewowej zmieniającej się w czasie na potrzeby ekologicznego planowania krajobrazu wymaga obliczenia statystyki strefowej z użyciem wielowymiarowego rastra stref reprezentującego strefy zalewowe oraz rastra wartości reprezentującego dekadowe maksimum opadów. Operacja strefowa będzie wykonywana dla każdego przekroju z rastra stref z użyciem tego samego rastra wartości. Wynikowy raster wielowymiarowy będzie miał taką samą liczbę przekrojów jak raster stref.
Na poniższej ilustracji zmienna w rastrze stref ma trzy wymiary: x, y oraz t i trzy przekroje w wartościach wymiarów: t0, t1 oraz t2. Zmienna w wynikowym rastrze wielowymiarowym również będzie miała te same trzy wymiary: x, y oraz t i tę samą liczbę przekrojów w wartościach wymiarów: t0, t1 oraz t2.
Łączna liczba rekordów w danych wynikowych narzędzia Statystyka strefowa jako tabela jest określana przez pomnożenie liczby stref i liczby przekrojów w rastrze stref. Jeśli liczba stref to 5, łączna liczba rekordów jest równa 15 (5 x 3 = 15).
Statystyka
Poniżej wymieniono dostępne typy statystyk do obliczania statystyki strefowej wraz z dodatkowymi szczegółami i graficznymi ilustracjami pokazującymi wyniki dla każdej opcji w przykładowych danych wejściowych.
Większość
- Najczęściej występująca wartość w każdej strefie jest przypisywana do wszystkich komórek w tej strefie.
- Jeśli w strefie występuje równowaga różnych wartości większości, do wszystkich lokalizacji komórek w danych wynikowych w strefie przypisywana jest najmniejsza ze zrównoważonych wartości.
Przykład:
Maksimum
- Największa wartość w każdej strefie jest przypisywana do wszystkich komórek w tej strefie.
Przykład: 
Średnia
- Średnia wartości w każdej strefie jest przypisywana do wszystkich komórek wynikowych w tej strefie.
- Wzór na średnią arytmetyczną jest następujący:
gdzie:
- x̄ = średnia
- xi = wartości zaobserwowane
- N = liczba obserwacji
- Wzór na średnią kołową jest następujący:
gdzie:
- x̄ = średnia kołowa
- xi = wartości zaobserwowane
- N = liczba obserwacji
W przypadku zdegenerowanym, w którym zarówno Σsin xi, jak i Σcos xi są równe 0, używana jest specjalna wartość -1 wskazująca, że średnia kołowa nie jest dobrze zdefiniowana.
Przykład:
Mediana
- Mediana wartości w każdej strefie jest przypisywana do wszystkich komórek wynikowych w tej strefie.
- Wartości statystyki tego typu są obliczane z użyciem metody Q1 opisanej w pozycji Hyndman i Fan (1996). Gdy od docelowej wartości mediany tak samo oddalone są dwie posortowane wartości, wybierana jest mniejsza z nich.
- W celu obliczenia mediany do wszystkich komórek w strefie przypisywane są rangi. Jeśli w strefie jest n komórek, a liczba n jest nieparzysta, do każdej komórki w danej strefie wpisywana jest wartość środkowa ((n+1)/2. Jeśli liczba komórek jest parzysta, wynikiem jest wartość (n/2).
Przykład:
Minimum
- Najmniejsza wartość w każdej strefie jest przypisywana do wszystkich komórek w tej strefie.
Przykład:
Mniejszość
- Najrzadziej występująca wartość w każdej strefie jest przypisywana do wszystkich komórek w tej strefie.
- Jeśli w strefie występuje równowaga różnych wartości mniejszości, do wszystkich lokalizacji komórek w danych wynikowych w strefie przypisywana jest najmniejsza ze zrównoważonych wartości.
Przykład:
Percentyl
- Percentyl wartości w każdej strefie jest przypisywany do wszystkich komórek wynikowych w tej strefie.
- Wartość statystyki tego typu jest obliczana z użyciem metody Q1 opisanej w pozycji Hyndman i Fan (1996). Gdy od docelowej wartości mediany tak samo oddalone są dwie posortowane wartości, wybierana jest mniejsza z nich.
- W celu obliczenia percentyla do wszystkich komórek w rastrze wartości przypisywane są rangi z użyciem następującego wzoru: R = P/100 x (n - 1) +1, gdzie P to zażądany percentyl, a n to liczba komórek.
Przykład:
Range - Zakres
- Różnica między wartościami maksymalną i minimalną w każdej strefie jest przypisywana do wszystkich komórek wynikowych w tej strefie.
- Zakres jest zdefiniowany w następujący sposób:
Zakres strefowy = Maksimum strefowe – Minimum strefowe
Przykład:
Odchylenie standardowe
- Odchylenie standardowe wartości w każdej strefie jest przypisywane do wszystkich komórek w tej strefie.
- Wzór na arytmetyczne odchylenie standardowe jest następujący:
gdzie:
- σ = odchylenie standardowe
- xi = wartości zaobserwowane
- x̄ = średnia
- N = liczba obserwacji
Notatka:
Odchylenie standardowe jest obliczane na całej populacji (metoda N), a nie szacowane na podstawie próbki (metoda N-1). Dla porównania obliczenie odchylenia standardowego jest równoważne metodzie STDEVP, a nie STDEV w programie Microsoft Excel.
- Wzór na kołowe odchylenie standardowe jest następujący:
gdzie:
- σ = kołowe odchylenie standardowe
- R̄ = średnia wynikowa długość
W przykładzie dotyczącym n kątów wyrażonych w stopniach kąty a1, a2, …, an są sumowane, a każdy kąt jest reprezentowany przez wektor jednostkowy,
wskazujący kierunek odpowiedniej obserwacji.
Przykład:
Suma
- Suma wszystkich wartości komórek w każdej strefie jest przypisywana do wszystkich komórek w tej strefie.
- Typ danych rastra wynikowego jest zmiennoprzecinkowy. Wynika to stąd, że wartość sumy jest zwykle całkiem duża i jej reprezentacja w postaci liczby całkowitej może nie być możliwa.
Na przykład strefa może mieć wielkość 2500 wierszy i kolumn komórek, a wartość w każdej komórce jest równa 1000. Suma dla tej strefy byłaby równa 2500 x 2500 x 1000 = 6,25 miliarda. Jeśli wymagane są wyniki całkowitoliczbowe, a zakres wynosi ±2,147 miliarda, można zastosować narzędzie Int.
Przykład:
Zróżnicowanie
- Liczba unikalnych wartości komórek w każdej strefie jest przypisywana do wszystkich komórek w tej strefie.
Przykład:
Typ danych wynikowych
Typ danych wynikowych (liczba całkowita lub liczba zmiennoprzecinkowa) jest określany zarówno przez wykonywane obliczenia strefowe, jak i przez typ wejściowego rastra wartości. W poniższej tabeli przedstawiono oczekiwane typy danych rastra wynikowego:
| Statystyka | Typ wartości wejściowej | Dane wynikowe |
|---|---|---|
Większość | Całkowite* | Całkowite |
Maksimum | Całkowite, Zmiennoprzecinkowe | Taki sam jak wartość |
Średnia | Całkowite, Zmiennoprzecinkowe | Zmiennoprzecinkowe |
Mediana | Całkowite, Zmiennoprzecinkowe | Całkowite |
Minimum | Całkowite, Zmiennoprzecinkowe | Taki sam jak wartość |
Mniejszość | Całkowite* | Całkowite |
Percentyl | Całkowite, Zmiennoprzecinkowe | Całkowite |
Range - Zakres | Całkowite, Zmiennoprzecinkowe | Taki sam jak wartość |
Odchylenie standardowe | Całkowite, Zmiennoprzecinkowe | Zmiennoprzecinkowe |
Suma | Całkowite, Zmiennoprzecinkowe | Zmiennoprzecinkowe |
Zróżnicowanie | Całkowite* | Całkowite |
Notatka:
* Obsługiwane są wyłącznie liczby całkowite.
Jeśli wartością w dowolnej lokalizacji komórki w zestawie danych strefy jest Brak danych, w danych wynikowych do tej lokalizacji przypisywana jest wartość Brak danych.
Odniesienia
Rob J. Hyndman and Yanan Fan (1996) "Sample Quantiles in Statistical Packages" The American Statistician, Tom 50, Nr 4 (Listopad, 1996), str. 361–365.