Fonctionnement de l’outil Isolignes selon un volume (centile)

L’outil Isolignes selon un volume (centile) génère des polygones qui englobent un pourcentage choisi par l’utilisateur de la magnitude totale du raster en cumulant la valeur x la surface de la cellule en commençant par les valeurs les plus élevées vers les plus basses.

Chaque polygone en sortie au centile p est l’emprise la plus petite possible dont les cellules contiennent collectivement au moins p pourcent du volume total du raster. Lorsque plusieurs centiles sont spécifiés, les polygones en sortie sont imbriqués. Le polygone le plus à l’intérieur (minimum) correspond au p le plus faible et capture les zones ayant les valeurs les plus élevées. Le polygone le plus à l’extérieur (maximum) correspond au p le plus élevé et montre l’enveloppe la plus large contenant la majorité du phénomène. La surface de ces polygones correspond à l’emprise physique, elle n’est pas égale au volume. Il s’agit de la zone contenant p pour cent du volume.

Utilisation

Utilisez l’outil Isolignes selon un volume (centile) lorsque la question porte sur la quantité, comme l’emplacement de la plus petite zone contenant p pour cent de la magnitude totale. Voici quelques exemples :

• Délimiter les 50 pourcent des incidents les plus importants à partir d’un raster de densité des actes criminels
• Identifier 90 pourcent des prévisions de dégâts dus aux tempêtes dans un état ou comté
• Délimiter 95 pourcent de l’intensité d’un foyer de maladie modélisé
• Délimiter 95 pourcent de l’espace vital de la vie sauvage

Comparaison avec d’autres outils d’isolignes

Les outils Isoligne et Liste d’isolignes créent des isolignes aux intervalles numériques que vous spécifiez. Utilisez ces outils lorsque les valeurs exactes à extraire sont connues (par exemple, tous les 5 mètres ou spécifiquement à 10, 25 et 35 mètres).

Si on le compare à ces outils, l’outil Isolignes selon un volume (centile) crée des isolignes de polygones en fonction du volume cumulé des valeurs et de l’emprise du raster.

Caractéristique	Outil Isoligne	Outil Liste d’isolignes	Outil Isolignes selon des valeurs (centile)	Outil Isolignes selon un volume (centile)
Ce que vous spécifiez	Base ou intervalle constant (espacement régulier)	Liste fixe de valeurs (espacement irrégulier)	Une ou plusieurs valeurs de centile	Une ou plusieurs valeurs de centile
Sortie :	Sortie polygone ou polyligne	Sortie polyligne	Comprend p % de cellules	Comprend p % du volume total
Prise en compte du centile :	Non	Non	Oui	Oui
Prise en compte de la magnitude (volume) :	Non	Non	Non	Oui
Géométrie en sortie :	Polylignes et polygones	Polylignes	Polygones	Polygones
Valeurs multiples en entrée :	Oui (plusieurs lignes utilisant un intervalle)	Oui (plusieurs lignes utilisant une liste)	Oui (entrée avec plusieurs centiles)	Oui (entrée avec plusieurs centiles)
Espacement régulier ou irrégulier :	Régulier (intervalle)	Irrégulier (liste explicite)	Irrégulière	Irrégulière
Comportement imbriqué (superposition) :	N/D	N/D	Polygones imbriqués	Polygones imbriqués
Unités de surface reportées :	Identique au raster	Sans objet	Unité de carte planaire^2 ou m géodésique^2	Unité de carte planaire^2 ou m géodésique^2
Question principale avec réponse :	Afficher les isolignes à ces valeurs à cet intervalle	Afficher les isolignes à ces valeurs spécifiées	Là où se trouvent les p % les plus élevés de la zone par valeurs	Là où se trouve(nt) p % de la magnitude totale concentrée

Concepts clés

Cette section définit les idées essentielles utilisées par l’outil Isolignes selon un volume (centile). Elle explique la façon dont les volumes cumulés des cellules sont calculés et comment sont sélectionnés le volume et le seuil cible. Un processus d’exemple suit ces concepts.

Volume de cellule

Chaque cellule contribue à une petite partie de la masse (quel que soit ce que le raster représente). Représentez-vous chaque cellule comme une boîte. Sa hauteur correspond à la valeur raster et son emprise est la surface au sol de chaque cellule. Le volume correspond donc à la hauteur x l’emprise.

Pour la cellule i :

v_i = d_i × A_i

Où :

• d_i est la valeur raster pour cette cellule
• A_i est la surface de la cellule calculée à l’aide du réglage choisi pour le paramètre Méthode

L’outil utilise par défaut l’option Planaire pour le calcul de surface.

Volume total

Le volume total (V_total) du raster est calculé à l’aide de la formule suivante :

Où :

• S correspond à l’ensemble des cellules valides.
• v_i est le volume de cette cellule.
• d_i est la valeur raster pour cette cellule.
• A_i est la zone de cellule calculée à l’aide du réglage choisi pour le paramètre Méthode.

L’outil utilise par défaut l’option Planaire pour le calcul de surface.

Volume cible

Pour le centile spécifié p ∈ (0,100), l’outil calcule le volume à l’aide de l’équation suivante :

Où :

• p est la valeur du centile.
• V_p est le volume cible pour le centile spécifié.
• V_total est le volume total de toutes les valeurs dans le raster.

Il s’agit de la quantité d’un phénomène qui sera extraite d’un raster en entrée. Par exemple, 50 pourcent de tous les crimes, 90 pourcent de la probabilité totale ou 75 pourcent des zones touchées par les catastrophes.

Valeur et volume de seuil

L’outil trie les cellules par valeur, de la plus haute à la plus basse et trouve la valeur la plus petite ; le fait de conserver toutes les cellules au moins de ce niveau permet ainsi d’augmenter le volume cible. La définition du seuil est donc la suivante :

Où :

• T_p est la valeur du premier échelon qui atteint ou dépasse la cible.
• t est une valeur de seuil candidate que l’outil prend en compte lors de la recherche.
• d_i est la valeur raster pour cette cellule.
• A_i est la zone de cellule calculée à l’aide du réglage choisi pour le paramètre Méthode.
• i:d_i ≥ t est l’ensemble de cellules que l’outil conservera si la limite était _i.
•  : volume cumulé auquel contribuent les cellules au niveau de t ou au-dessus.
• V_p est le volume de cette valeur de centile.

Volume cumulé

Si d₁ ≥ d₂ ≥ ... ≥ d_n est l’ordre décroissant de toutes les valeurs de cellules, et que le volume cumulé est déterminé par :

Alors, la valeur du premier échelon qui atteint ou dépasse la cible T_p est déterminée par :

T_p = d_k*

Où :

• k* = min{k:C_k ≥ V_p } est la valeur du premier échelon qui atteint ou dépasse la cible

Exemple de processus

Prenons l’exemple d’un raster de 9 cellules, dans lequel chaque cellule à une surface de cellule de 1 (A_i = 1). Les valeurs raster sont les suivantes :

Ligne 1 :	8	2	1
Ligne 2 :	5	4	3
Ligne 3 :	7	6	0

La liste de valeurs est : {8, 2, 1, 5, 4, 3, 7, 6, 0}.

Le volume total du raster est :

V_total = (8 + 2 + 1 + 5 + 4 + 3 + 7 + 6 +0) × 1 = 36.

Les centiles de volume peuvent maintenant être calculés. L’exemple suivant montre 50 pourcent, 75 pourcent et 90 pourcent des valeurs :

p = 50 pourcent :	V50 = 0,50 × 36 = 18
p = 75 pourcent :	V75 = 0,75 × 36 = 27
p = 90 pourcent :	V90 = 0,90 × 36 = 32,4

Trier les valeurs de cellules par ordre décroissant (les plus denses en premier) et cumuler valeur x surface vous permet de calculer les volumes cumulés C_k pour chaque valeur.

k	Valeur, d(k)	Ck
1	8	8
2	7	15
3	6	21
4	5	26
5	4	30
6	3	33
7	2	35
8	1	36
9	0	36

Pour calculer les 50e Isolignes selon un volume (centile) à partir des données d’exemple, le volume cible pour ce centile est : 18 (V₅₀ = 18). D’après la table ci-dessus, le volume cumulé pour k = 2 est 15. C’est moins que le volume cible.

C₃ = 15 (< 18)

Pour k = 3, le volume cumulé est 21. C’est plus que le volume cible. Il s’agit par conséquent du volume seuil et la valeur (6) pour k = 3 sera la valeur de seuil.

C₃ = 21 (> 18) => k^* = 3

Toutes les valeurs situées à ce niveau ou au-dessus seront incluses dans l’isoligne de volume.

Gestion des valeurs négatives

Par définition, l’outil Isolignes selon un volume (centile) additionne valeur x surface en commençant par les valeurs les plus élevées vers les plus basses jusqu’à ce que le volume cumulé atteigne la cible V_p. Ceci suppose que la courbe de totaux augmente à mesure que les cellules sont ajoutées.

Si toutes les valeurs du raster sont supérieures ou égales à 0 - ce qui est habituel pour une surface de densité - l’outil prend les valeurs, les trie par ordre décroissant et calcule le volume cumulé jusqu’à ce que le volume cible (V_p) soit atteint. Il s’agit du scénario standard.

Si les valeurs du raster de surface en entrée sont toutes négatives (profondeur par exemple), le fait d’ajouter un nombre négatif comme valeur la plus élevée réduit une somme négative. L’outil Isolignes selon un volume (centile) gère les valeurs négatives de deux façons de façon à ce que les isolignes en sortie correspondent toujours à la partie la plus dense du phénomène.

La première façon dont l’outil gère les valeurs négatives se fait via le paramètre Ignorer les valeurs négatives. Lorsque ce paramètre est sélectionné, l’outil ignore les valeurs négatives dans le calcul du volume et extrait les isolignes en sortie en tenant uniquement compte des valeurs positives. Sinon, l’outil suit une méthode d’inversion du signe pour intégrer les valeurs négatives dans le calcul du volume.

Détermination du seuil avec des valeurs identiques

Un raster de surface en entrée peut comporter plusieurs cellules ayant des valeurs identiques. Lorsque c’est le cas, le calcul du volume cumulé peut s’accroître considérablement. Le volume cible caculé pourrait par conséquent se trouver dans l’une de ces augmentations. Ce qui signifie qu’il n’est pas possible d’inclure uniquement une partie des cellules liées à cette valeur et d’ignorer les autres. L’outil inclut toutes ces valeurs. L’outil identifie la première instance où le total courant atteint la cible et définit cette valeur plateau comme seuil. Puis, il sélectionne toutes les cellules qui se trouvent au niveau ou au-dessus du seuil initialement calculé. Le volume obtenu peut par conséquent dépasser le seuil initialement calculé.

L’outil vérifie que le résultat ne sera jamais inférieur à la partie requise. Toutefois, puisque l’outil sélectionne toutes les cellules liées au seuil dans ces instances, les isolignes en sortie peuvent dépasser légèrement le pourcentage. Les centiles voisins (tels que 88 pourcent ou 90 pourcent) peuvent même produire le même polygone d’isolignes en sortie s’ils tombent tous sur le même plateau.

Applications possibles

Voici quelques applications possibles de cet outil :

• Dans le domaine de la recherche écologique utilisant un raster de densité des observations d’espèces, les isolignes selon le volume peuvent délimiter l’habitat vital d’un animal (isolignes selon le volume de 95 pourcent) ou sa zone principale (isolignes selon le volume de 50 pourcent).
• À l’aide des données sur les actes criminels, créez une surface de densité avec l’outil Densité de noyau. Puis, utilisez l’outil Isolignes selon un volume (centile) pour délimiter la plus petite emprise contenant davantage d’actes criminels escomptés. Ceci aide à répartir les patrouilles de police et à planifier stratégiquement la prévention des actes criminels.
• À l’aide des données sur les feux de forêt, créez une surface de densité avec l’outil Densité de noyau. Sur le raster de probabilité de destruction par le feu, utilisez l’outil Isolignes selon un volume (centile) pour identifier les isolignes selon un volume de 95 pourcent. Ceci indiquera les zones où l’on attend la quasi-totalité des destructions par le feu. Ceci est utile pour préparer la saison des feux de forêt, planifier les réponses et déterminer les emplacements prévus des incendies.
• Dans le domaine de la santé publique, à l’aide d’une surface de densité de localisation des patients, l’outil Isolignes selon un volume (centile) pourrait permettre de mesurer l’accès aux services de santé ou un foyer de maladie. Des isolignes selon un volume de 10-20 pourcent indiqueront la zone compacte contenant la plupart des cas attendus.

Ressources supplémentaires

Pour plus d’informations, reportez-vous aux rubriques suivantes :

Gibin, M., Longley, P., and Atkinson, P. (2007). "Kernel density estimation and percent volume contours in general practice catchment area analysis in urban areas." Dans Proceedings of the GIScience Research UK (GISRUK) Conference, Maynooth, Irlande.

Lewis, D. (2015). "Kernel density estimation and percent volume contours." In C. Brunsdon & A. Singleton (Eds.) Geocomputation: A Practical Primer, 169-184. SAGE Publications.

Kie, J. G., Matthiopoulos, J., Fieberg, J., Powell, R. A., Cagnacci, F., Mitchell, M. S., et Moorcroft, P. R. (2010). "The home-range concept: are traditional estimators still relevant with modern telemetry technology?". Philosophical Transactions of the Royal Society B: Biological Sciences, 365(1550), 2221-2231.