Formules des fonctions de transformation

Cette section explique les formules utilisées pour les fonctions de transformation dans l’outil Redimensionner par fonction. Les formules de fonction de transformation sont présentées comme des expressions d’algèbre spatial Spatial Analyst.

La formule générale de chaque fonction de transformation est identifiée. Par défaut, la formule générale est modifiée en fonction du minimum (lowerThreshold) et du maximum (upperThreshold) du jeu de données en entrée. La manière dont les paramètres par défaut sont déterminés est également présentée ci-dessous.

Avec la formule générale, un nombre illimité de courbes de fonction peuvent être définies et n’importe quelle portion de la courbe de fonction peut être capturée. Dans la version par défaut de la formule, une seule courbe de la fonction correspondra au minimum et au maximum du jeu de données en entrée. De ce fait, en plus d’appliquer la mise à l’échelle linéaire des valeurs transformées, les données représentées dans différentes unités (par exemple, Celsius ou Fahrenheit) produiront les mêmes valeurs d’évaluation en sortie.

Appliquer une fonction de transformation

En principe, les étapes à suivre pour appliquer une fonction de transformation sont les suivantes :

1. Spécifiez le jeu de données en entrée et les paramètres de fonction.
2. Appliquez la formule de transformation.
3. Mettez les valeurs transformées à l’échelle sur l’échelle d’évaluation de manière linéaire.

L’équation de transformation linéaire utilisée pour mettre à l’échelle les valeurs transformées sur l’échelle d’évaluation à l’étape 3 ci-dessus est la suivante :

ScaledY = fromScale + (Y - min(Y)) * r

où :

• Y = F(In) est la valeur transformée ayant pour formule F, présentée dans les formats généraux suivants :
• In est la valeur en entrée.
• r est le résultat de (toScale - fromScale) / (max(Y) - min(Y)).
• min(Y) est la valeur minimale de Y.
• max(Y) est la valeur maximale de Y.
• fromScale est le minimum de l’échelle d’évaluation (par exemple, 1).
• toScale est le maximum de l’échelle d’évaluation (par exemple, 10).

Exponentiel

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation Exponentiel.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

Exp((In – inShift) * baseFactor)

où :

• In est la valeur en entrée.
• inShift est la valeur soustraite des valeurs en entrée.
• baseFactor est un multiplicateur des valeurs en entrée décalées, ce qui contrôle le degré d’ascension de la fonction exponentielle.

Valeurs par défaut

Les valeurs par défaut de inShift et de baseFactor sont calculées comme suit.

inShift = Con(toScale > fromScale, A, B)

baseFactor = Con(toScale > fromScale, C, D)

où :

• A = (minIn * Ln(toScale) - maxIn * Ln(fromScale)) / (Ln(toScale) - Ln(fromScale))
• B = (minIn * Ln(fromScale) - maxIn * Ln(toScale)) / (Ln(fromScale) - Ln(toScale))
• C = (Ln(toScale) - Ln(fromScale)) / (maxIn - minIn)
• D = (Ln(fromScale) - Ln(toScale)) / (maxIn - minIn)
• Ln est le logarithme d’une valeur avec base e.
• minIn est le minimum de l’entrée.
• maxIn est le maximum de l’entrée.

Gaussien

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation Gaussien.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

Exp(-Spread * Square(In - MidPoint))

où :

• Spread paramètre Spread (Dispersion), qui contrôle la déclivité de la désintégration à partir du centre.
• In est la valeur en entrée.
• MidPoint est le paramètre Midpoint (Centre), qui définit le centre de la courbe Gaussienne.

Valeurs par défaut

Les valeurs par défaut de Spread et de MidPoint sont calculées comme suit.

Spread = Ln(10) * 4 / Pow(MidPoint - minIn, 2)

MidPoint = (maxIn + minIn) / 2

où :

• Ln(10) est le logarithme de 10 avec base e.
• Pow(MidPoint - minIn, 2) est la valeur de MidPoint - minIn à la puissance 2.
• minIn est le minimum de l’entrée.
• maxIn est le maximum de l’entrée.

Grande

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation Grande.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

1.0 / (1.0 + Pow(In / MidPoint, - Spread))

où :

• In est la valeur en entrée.
• MidPoint est le paramètre Midpoint (Centre), qui définit le point de transition de la fonction.
• Spread est le paramètre Spread (Dispersion), qui contrôle la vitesse à laquelle la préférence augmente et diminue.

Valeurs par défaut

Les valeurs par défaut de Spread et de MidPoint sont calculées comme suit.

Spread = 5

MidPoint = (maxIn + minIn) / 2

où :

• minIn est le minimum de l’entrée.
• maxIn est le maximum de l’entrée.

Linéaire

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation Linéaire.

Format général

Les formats généraux de la formule selon le type de pente sont les suivants :

Pente positive (Min < Max) :

Con(In < Min, 0, Con(In > Max, 1, (In - Min) / Diff))

Pente négative (Min > Max) :

Con(In > Min, 0, Con(In < Max, 1, (In - Min) / Diff))

où :

• In est la valeur en entrée.
• Min est le minimum spécifié, qui définit le premier point par lequel la fonction Linéaire doit passer.
• Max est le maximum spécifié, qui définit le deuxième point par lequel la fonction Linéaire doit passer.
• Diff est égal à Max - Min.

Valeurs par défaut

Les valeurs par défaut de Min et de Max sont calculées comme suit.

Min = minIn

Max = maxIn

où :

• minIn est le minimum de l’entrée.
• maxIn est le maximum de l’entrée.

Logarithme

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation Logarithme.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

Ln((In – inShift) * baseFactor)

où :

• In est la valeur en entrée.
• InShift est la valeur soustraite des valeurs en entrée.
• baseFactor est le multiplicateur des valeurs en entrée décalées, qui contrôle l’ascension de la fonction Logarithme.

Valeurs par défaut

Les valeurs par défaut de inShift et de baseFactor sont calculées comme suit.

inShift = Con(toScale > fromScale, A, B)

baseFactor = Con(toScale > fromScale, C, D)

où :

• A = (minIn * Exp(toScale) - maxIn * Exp(fromScale)) / (Exp(toScale) - Exp(fromScale))
• B = (minIn * Exp(fromScale) - maxIn * Exp(toScale)) / (Exp(fromScale) - Exp(toScale))
• C = (Exp(toScale) - Exp(fromScale)) / (maxIn - minIn)
• D = (Exp(fromScale) - Exp(toScale)) / (maxIn - minIn)
• Exp est l’exponentiel de la valeur avec base e.
• minIn est le minimum de l’entrée.
• maxIn est le maximum de l’entrée.

Désintégration logistique

Les formules de la fonction de transformation Désintégration logistique sont les suivantes.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

C / (1 + A * Exp((In – Min) * B))

Les définitions des paramètres de la formule sont les mêmes que dans LogisticGrowth.

Remarque :

Dans l’équation LogisticGrowth, les calculs Exponential sont déterminés à partir du négatif de la valeur pour calculer exponential: Exp( - (In - Min) * B).

Croissance logistique

Les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation Croissance logistique sont les suivantes.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

C / (1 + A * Exp( - (In – Min) * B))

où :

• Min est le minimum spécifié, qui contrôle le point de départ de la croissance logistique.
• C est l’asymptote horizontal de capacité ou supérieur.
• A détermine l’intersection lorsque In = Min.
• B détermine la base de la fonction exponentielle Exp.

Valeurs par défaut

Les valeurs par défaut de C, de A et de B sont calculées comme suit.

C = 100

A = C / yInterceptPercent - 1

B = Ln(A) / (0.5 * (Max + Min) - Min)

où :

• yInterceptPercent est le pourcentage de l’intersection y divisé par C, qui est défini sur 1 pour LogisticGrowth et sur 99 pour LogisticDecay par défaut.
• Min est le minimum spécifié, qui est défini sur la valeur minimum de l’entrée par défaut.
• Max est le maximum spécifié, qui est défini sur la valeur maximum de l’entrée par défaut.
• Ln(A) est le logarithme de A avec base e.
• 0.5 * (Max + Min) est la coordonnée x du point d’inflexion y = C / 2, créant le point d’inflexion au milieu de Min et de Max

MSLarge

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation MSLarge.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

Con(In > nMeans, 1 - (nStdv / (In - nMeans + nStdv)), 0)

où :

• In est la valeur en entrée.
• nMeans est égal à meanMultiplier * moyenne.
• nStdv est égal à STDMultiplier * std, std correspondant à l’écart type parmi la population entière.

Valeurs par défaut

meanMultiplier et STDMultiplier sont définis sur 1 par défaut.

MSSmall

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation MSSmall.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

Con(In > nMeans, nStdv / (In - nMeans + nStdv), 1)

où :

• In est la valeur en entrée.
• nMeans est égal à meanMultiplier * moyenne.
• nStdv est égal à STDMultiplier * std, std correspondant à l’écart type parmi la population entière.

Valeurs par défaut

meanMultiplier et STDMultiplier sont définis sur 1 par défaut.

Proche

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation Proche.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

1.0 / (1.0 + Spread * Pow(In - MidPoint, 2))

où :

• In est la valeur en entrée.
• Spread paramètre Spread (Dispersion), qui contrôle la déclivité de la désintégration à partir du centre.
• MidPoint est le paramètre Midpoint (Centre), qui définit le centre de la courbe.

Valeurs par défaut

Les valeurs par défaut de Spread et de MidPoint sont calculées comme suit.

Spread = 36 / Pow(MidPoint - minIn, 2)

MidPoint = (maxIn + minIn) / 2

où :

• Pow(MidPoint - minIn, 2) est la valeur de MidPoint - minIn à la puissance 2.
• minIn est le minimum de l’entrée.
• maxIn est le maximum de l’entrée.

Puissance

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation Puissance.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

Pow(In – inShift, Exponent)

où :

• In est la valeur en entrée.
• inShift est la valeur soustraite des valeurs en entrée.
• Exponent est l’exposant auquel élever la fonction.

Valeurs par défaut

Les valeurs par défaut de inShift et de Exponent sont calculées comme suit.

inShift = Con(toScale > fromScale, A, B)

où :

• A = Con(fromScale == 1, minIn - 1, minIn)
• B = Con(toScale == 1, minIn - 1, minIn)
• minIn est le minimum de l’entrée.
• maxIn est le maximum de l’entrée.

Exponent = Con(toScale > fromScale, C, D)

où :

• C = Con(fromScale == 0, C1, Con(fromScale == 1, C2, 2))
• C1 = Con(toScale <= 1, 1, Ln(toScale) / (maxIn - inShift))
• C2 = Ln(toScale) / Ln(maxIn - inShift)
• D = Con(toScale == 0, D1, Con(toScale == 1, D2, 2))
• D1 = Con(fromScale <= 1, 1, Ln(fromScale) / (maxIn - inShift))
• D2 = Ln(fromScale) / Ln(maxIn - inShift)
• Ln est le logarithme d’une valeur avec base e.
• minIn est le minimum de l’entrée.
• maxIn est le maximum de l’entrée.

Petite

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation Petite.

Format général

Le format général de la formule est le suivant.

1.0 / (1.0 + Pow(In / MidPoint, Spread))

où :

• In est la valeur en entrée.
• MidPoint est le paramètre Midpoint (Centre), qui définit le point de transition de la fonction.
• Spread est le paramètre Spread (Dispersion), qui contrôle la vitesse à laquelle la préférence augmente et diminue.

Valeurs par défaut

Les valeurs par défaut de Spread et de MidPoint sont calculées comme suit.

Spread = 5

MidPoint = (maxIn + minIn) / 2

où :

• minIn est le minimum de l’entrée.
• maxIn est le maximum de l’entrée.

Linéaire symétrique

Voici les formules et les valeurs par défaut de la fonction de transformation Linéaire symétrique.

Format général

Les formats généraux de la formule pour différents types de pente sont les suivants.

Pour les pentes positives (Min < Max) :

Con(In < Min , 0, Con(In < MidP, (In - Min) / HDiff, Con(In > Max, 0, (Max - In) / HDiff)))

Pour les pentes négatives (Min > Max) :

Con(In < Max, 1, Con(In < MidP, (In - MidP) / HDiff, Con(In > Min, 1, (MidP - In) / HDiff)))

où :

• In est la valeur en entrée.
• Min est le minimum spécifié, qui définit un point par lequel la fonction SymmetricLinear doit passer.
• Max est le maximum spécifié, qui définit l’autre point par lequel la fonction SymmetricLinear doit passer.
• Diff est égal à Max - Min.
• HDiff est égal à 0.5 * Diff.
• MidP est égal à Min + HDiff.

Valeurs par défaut

Les valeurs par défaut de Min et de Max sont calculées comme suit.

Min = minIn

Max = maxIn

où :

• minIn est le minimum de l’entrée.
• maxIn est le maximum de l’entrée.